인공지능 시대의 선형대수학 개정3판(생능출판) 3장 연습문제 풀이(문제내용X, 답 해설O)

1. 벡터와 행렬의 기본 연산

벡터와 행렬의 기본 연산은 인공지능과 선형대수학의 근간을 이루는 핵심 개념이다. 벡터는 크기와 방향을 가지며, 주로 데이터를 한 줄 또는 한 열로 표현한다. 예를 들어, 자연어 처리에서는 단어의 의미를 벡터 공간에 투영하여 의미 유사도를 계산하는데 사용한다. 벡터 덧셈은 두 벡터를 대응하는 성분끼리 더하는 연산으로, 예를 들어 두 텍스트 문서의 특성 벡터를 덧셈함으로써 복합 의미를 구하는 데 활용된다. 스칼라배(스칼라 곱) 연산 역시 벡터의 크기를 조절하는 데 이용되며, 1.5배, 2배 등으로 확장하거나 축소할 수 있다. 이때 벡터의 노름(norm)은 벡터의 크기를 의미하며, 유클리드 노름은 각 성분의 제곱합의 제곱근으로 정의한다.

행렬은 다수의 벡터를 표 형태로 정리한 것으로, 다양한 데이터 변환에 이용한다. 예를 들어, 이미지 필터링에서는 픽셀의 밝기값을 행렬로 표현하며, 행렬 간 곱셈을 통해 이미지를 변형하거나 필터를 적용한다. 행렬 덧셈과 뺄셈은 동일 크기의 행렬 성분별 연산으로 수행되며, 각각의 연산은 행렬의 각 성분값을 대응하여 더하거나 뺀다. 행렬의 스칼라 곱은 행렬의 모든 성분에 동일…