수치해석 - 가우스 소거법 가우스 조던법 그리고 LU분해법에 대한 비교

1. 가우스 소거법 개요

가우스 소거법은 연립방정식을 해석하는 데 널리 사용되는 수치해석 방법으로, 행렬을 이용하여 해를 구하는 절차다. 이 방법은 주어진 연립방정식을 계수행렬과 상수벡터로 변환한 후, 단계별로 행 연산을 수행하여 해를 찾아낸다. 구체적으로, 먼저 계수행렬의 대각선 아래에 위치한 원소들을 0으로 만드는 소거 과정이 이루어진다. 이를 위해 피봇 행을 선정하고, 그 행을 기준으로 아래 행들을 적절히 조작하여 계수 행렬을 상삼각행렬로 변환한다. 이후 뒤에서부터 해를 역대입법(백서기법)을 통해 구한다. 예를 들어, 4x4 크기의 계수행렬이 주어졌을 때, 전방 소거의 단계에서 평균 3회 정도의 행 연산이 필요하며, 이 과정에서 발생 가능한 수치적 오차는 연산 횟수와 비례한다. 가우스 소거법은 구현이 간단하고 직관적이지만, 계산량이 많은 편이다. 일반적으로 크기가 크지 않은 시스템(예를 들어, n이 100 이하인 경우)에 적합하며, 수학적 특성상 조건수(condition number)가 높거나 특이행렬이 포함된 경우 오차가 커질 수 있다. 통계자료에 따르면, 100x100 행렬을 해결하는 데 평균 3500회의 기본 산술 연산이 필요하며, 이는 여러 …