마팅게일 확률과정과 증권가격의 형성과정

1. 마팅게일 확률과정의 정의

마팅게일 확률과정은 확률론과 금융수학에서 매우 중요한 개념으로, 특정한 조건을 만족하는 확률과정이다. 마팅게일은 시간에 따라 기대값이 변화하지 않는 과정을 의미하며, 이는 기대값이 현재 시점에서 미래의 기대값과 같음을 의미한다. 즉, 확률 과정 {X_t}가 마팅게일일 때, 모든 시간 t에 대해 조건부 기대값이 현재 값과 같아진다. 수학적으로는 조건부 기대값이 X_t인 경우에, 미래 시점의 조건부 기대값이 X_t와 같다는 성질이 성립한다. 이는 마팅게일의 핵심 특성으로, 다음과 같이 표현할 수 있다: E[X_{t+1} | F_t] = X_t, 여기서 F_t는 시간 t까지의 정보 집합이다.

마팅게일은 공정한 게임, 즉 기대수익이 0인 도박처럼 이해할 수 있다. 예를 들어 도박에서 현재 가진 돈이 100만원일 때, 다음 라운드의 기대값도 100만원으로 기대할 수 있다면, 이는 마팅게일 특성을 갖는 과정이다. 현실 금융시장에서는 자산가격이 무작위로 변동하며, 때로는 기대수익이 0이거나 매우 낮은 수익률을 나타내는 상황에서 마팅게일 개념이 유용하다. 20세기 초 폴은 이 개념을 통해 금융시장 내 무위험 기대수익률이 존재론적 전제임을 …