고등학교 수학 등차수열과 등비수열에 관한 수행평가 문제와 풀이입니다. 유용하게 사용하시길 바랍니다.

1. 등차수열의 정의와 성질

등차수열은 각 항이 일정한 차이, 즉 공차를 가지고 증가하거나 감소하는 수열이다. 일반적으로 등차수열은 n번째 항을 \(a_n\), 초항을 \(a_1\), 공차를 \(d\)라고 할 때, \(a_n = a_1 + (n-1)d\)의 형태를 갖는다. 예를 들어, 3, 7, 11, 15, 19와 같은 수열에서 초항은 3이고 공차는 4이며, 이는 등차수열에 해당한다. 등차수열의 성질 중 하나는 두 임의의 항 사이의 차이가 항상 일정하다는 것이다. 즉, 만약 \(a_i\)와 \(a_j\)가 서로 다른 두 항이라면, \(a_j - a_i = (j - i)d\)로 일정하게 유지된다. 이러한 성질 덕분에 등차수열의 특정 항을 빠르게 계산할 수 있다. 예를 들어, 각 항이 3씩 증가하는 수열이 20번째 항까지 계속된다면, 1번째 항이 3일 때 20번째 항은 \(a_{20} = 3 + (20-1) \times 3 = 3 + 57 = 60\)이다. 또한, 등차수열은 부분합을 구하는 데도 유용하다. n개의 항의 합은 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)으로 구할 수 있으며, 이는 등차수열의 성질을 활용한 계산법이다. 이 식은 수학적 계산뿐만 아니라 경제학, 통계학에서도 활용되며, 예를 들어 연봉이 매년 일정한 금액만큼 증가하는 경우, 총 연봉의 합계…