[선형대수학] 선형대수학 4.2~4.3 연습문제 풀이(대학원서) WILEY

1. 벡터 공간의 기본 개념

선형대수학에서 벡터 공간의 개념은 매우 기본적이면서도 중요한 역할을 한다. 벡터 공간은 벡터들로 이루어진 집합으로, 이 집합 위에는 덧셈과 스칼라 곱이라는 두 연산이 정의되어 있어야 한다. 이 두 연산은 폐쇄성을 만족하며, 가환법과 결합법, 분배법, 영벡터와 역원 존재 등 여러 공리를 충족해야 한다. 벡터의 덧셈에서는 벡터의 크기와 방향이 다를 때 두 벡터를 더하는 연산으로, 예를 들어 3차원 공간에서 좌표 (1, 2, 3)과 (4, 5, 6)를 더하면 (5, 7, 9)가 된다. 이는 자연 현상에서도 쉽게 볼 수 있는데, 예를 들어 3D 컴퓨터 그래픽스에서는 위치와 방향 변화 등을 벡터로 표현하며 연산한다. 스칼라 곱은 벡터와 실수 실수인 스칼라를 곱하는 연산으로, 크기를 늘리거나 줄이는 역할을 한다. 예를 들어, 벡터 (2, 4, 6)에 스칼라 3을 곱하면 (6, 12, 18)이 되며, 이는 방향은 같지만 크기가 3배 증가한다. 벡터 공간으로의 대표적인 사례는 유클리드 공간 R^n으로, n차원 좌표평면 혹은 공간을 모델로 하며, 이 공간은 모든 실수로 구성된 n개 원소의 집합이다. 세계적으로 벡터 공간의 연구는 약 80년대부터 시작되어, 현재 202…