KREYSZIG 공업수학 10판 (상) 2.2장 연습문제 풀이

1. 복소수와 복소평면

복소수는 실수부와 허수부로 이루어진 수로서, 일반적으로 a + bi 형태로 나타낸다. 여기서 a는 실수부, b는 허수부이며, i는 허수 단위로서 i² = -1을 만족한다. 복소수는 좌표평면상에서 점 또는 벡터로 표현할 수 있어, 실수축 x축 위에 있는 점으로 나타내거나 허수축 y축에 수직으로 나타낼 수 있다. 복소평면은 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로 하는 2차원 직교좌표평면이다. 예를 들어, 복소수 3 + 4i는 실수부 3, 허수부 4를 갖으며, 복소평면상에서 점 (3, 4)로 표시된다. 복소평면에서는 복소수의 연산이 기하학적으로 직관적으로 해석 가능하다. 복소수 덧셈은 두 벡터의 평행이동을 의미하며, 곱셈은 크기와 각도를 변화시키는 변환으로 볼 수 있다. 크기 또는 절댓값은 복소수 a + bi에 대하여 |a + bi| = √(a² + b²)로 정의하며, 이는 복소평면상 원점으로부터의 거리를 의미한다. 예를 들어, 3 + 4i의 크기는 √(3² + 4²) = 5로, 직선 거리임과 동시에 벡터 크기를 나타낸다. 극좌표 표현으로는 r = |z|, θ = arg(z)로 나타내며, z = r(cosθ + i sinθ)로 표현할 수 있다. 이는 오일러 공식 e^{iθ…