일대일대응의증명 실수전체집합을 기호 R로 나타내자.

1) 단사함수임을 확인

A → B가 단사함수라면 a1, a2 ∈ A에 대해 f(a = f(a라면 반드시 a1 = a2이어야 한다. 이제 실제로 함수 f가 단사함수인지 확인하기 위해서는 f의 정의역에서 두 원소가 같지 않을 때 그 함수값도 같지 않다는 것을 증명해야 한다. R → R이라는 함수를 고려한다. 여기서 원소 x1, x2 ∈ R을 임의로 선택하고 이들이 서로 다르다고 가정한다. 즉, x1 ≠ x2라고 하면, 그에 대응하여 함수값 f(x와 f(x도 어떻게 변하는지를 살펴본다. 만약 f가 단사함수라면, f(x = f(x라는 상황은 발생할 수 없다. 즉, 두 함수값이 같다면 원래 원소 x1과 x2가 같아야 하기 때문이다. 이를 위해서는 f의 구체적인 형태가 필요하다. 일반적인 예로, f(x) = ax + b와 같은 선형함수를 고려할 수 있다. 여기서 a는 0이 아닌 상수이다. 이 경우, x1과 x2에 대한 함수값 f(x과 f(x는 다음과 같이 계산된다. f(x = ax1 + bf(x = ax2 + b 이 두 함수값을 같다고 가정하면, ax1 + b = ax2 + b가 성립한다. 양변에서 b를 제거하면, ax1 = ax2가 되고, a가 0이 아니므로 양변을 a로 나누면 x1 = x2가 된다. 이는 원래 가정인 x1 ≠ x2와 모순이므로, f는 단사함수이다. 또 다른…