경희대학교 미분적분학 15주차(11.4) 과제 솔루션

1. 11.4 외적

\[\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\u_1 & u_2 & u_3 \\v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}\] 여기서 \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)는 각각 x, y, z 축의 단위 벡터이다. 이 행렬식을 계산하면, \[w_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2,\]\[w_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3,\]\[w_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1,\] 와 같이 각 성분이 도출된다. 이렇게 생성된 벡터 \(\mathbf{w}\)는 벡터 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 모두에 수직임을 특징으로 하며, 이는 외적의 가장 중요한 기하학적 특징이다. 외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적을 의미한다. \[|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin \theta. \] 따라서, 외적은 각도와 벡터의 크기 사이의 관계를 나타내므로 물리적 상황에서도 벡터의 방향과 세기를 파악하는 데 유용하다. 외적은 또한 다양한 성질들을 가진다. 외적의 교환 법칙이 성립하지 않는다는 점에서 주목할 필요가 있다. 즉, \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\)라는 관계가 성립함으로써, 외적의 순…