삼중적 과제

1. [과제 6-1] 세 3차원 공간 벡터 A = (a₁, a₂, a₃), B = (b₁, b₂, b₃), C = (c₁, c₂, c₃)에 대하여, 다음을 보이시오. A(B×C) = B(C×A) = C(A×B)

삼중적 과제는 벡터의 내적과 외적의 성질을 다루는 중요한 주제이다. 주어진 세 개의 3차원 공간 벡터 A, B, C에 대해 A(B×C), B(C×A), C(A×B)가 서로 같다는 것을 보여주기 위해, 벡터의 정의와 이들 사이의 관계를 이해해야 한다. 먼저 벡터 A, B, C를 각 성분으로 표현하면 A = (a₁, a₂, a₃), B = (b₁, b₂, b₃), C = (c₁, c₂, c₃)이다. 외적 B×C를 계산하면, 이 결과도 하나의 벡터가 된다. 외적의 정의에 따르면, B×C = (b₂c₃ - b₃c₂, b₃c₁ - b₁c₃, b₁c₂ - b₂c₁)로 주어진다. 여기서 각 성분은 두 벡터 B와 C의 성분으로부터 특정 연산을 통해 도출된다. 이제 A와 B×C의 내적을 계산하자. A(B×C)는 다음과 같이 전개된다. A(B×C) = a₁(b₂c₃ - b₃c₂) + a₂(b₃c₁ - b₁c₃) + a₃(b₁c₂ - b₂c₁). 이 계산을 통해 우리는 A(B×C)의 값을 얻는다. 이제 동일한 방식으로 B(C×A)와 C(A×B)를 계산해야 한다. C×A는 (c₂a₃ - c₃a₂, c₃a₁ - c₁a₃, c₁a₂ - c₂a…