수치해석 과제3

1. 3차 스플라인 보간법(5점)

3차 스플라인 보간법은 연속적인 함수의 근사를 위해 사용되는 기법 중 하나로, 주어진 데이터 점들을 매끄럽게 연결하는 다항 함수를 생성하는 방법이다. 이 방법은 특히 비선형 데이터에 대해 효과적인 보간을 제공하며, 데이터의 변화를 자연스럽게 모델링할 수 있는 장점이 있다. 3차 스플라인 보간법은 각 구간에서 정의된 3차 다항식으로 구성된 보간 함수를 사용하여 데이터 점들을 연결한다. 주어진 n개의 데이터 점 \((x_0, y_0), (x_1, y_, \ldots, (x_n, y_n) \)에 대해, 각 점 사이의 구간 \([x_i, x_{i+1}] \)에 대해 3차 다항식 \(S_i(x) \)를 정의한다. 이들 다항식은 다음 형태를 가진다. \[S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3\] 각 구간 \([x_i, x_{i+1}] \)의 다항식은 그 구간의 양 끝 점에서의 함수값을 가지고 있어야 하며, 매끄러운 접속을 위해 각 구간에서의 연속성과 도함수의 연속성을 만족해야 한다. 이러한 조건을 통해 각 다항식의 계수 \(a_i, b_i, c_i, d_i \)를 결정해야 하고, 이를 위해 총 4가지 조건을 설정해야 한다. 우선, 각 다항식이 구간의 양 끝에서 주어진 점의 값을 …