미분방정식을 활용한 회로 방정식 증명

1. 개요

축전지(storage battery)란 외부 전기에너지를 화학에너지 형태로 바꾸어 저장해 재사용할 수 있게 만든 전지로 충전지(rechargeable battery) 혹은 배터리(battery)라고 부른다. [그림 1]은 간단히 도식화한 축전지의 회로 모형을 나타낸 것이다. 이때 스위치 S를 a 혹은 b에 연결한다면 도선에는 전류가 만큼 흐를 것이다. 그리고 도선에 저항 이 존재하며 에너지가 충전되거나 방전될 때의 시시각각 변하는 퍼텐셜 차이를 라고 하자.
먼저 우리가 축전지를 충전하길 원한다면, 스위치 를 에 연결하면 된다. 스위치 가 에 연결되면 (+)지점 부근과 (-)지점 부근의 퍼텐셜 차이가 줄어들어 충전이 완료된다. 이때의 전하량을 , 전기용량을 라고 하면 아래와 같은 방정식을 만들 수 있다.

다음으로 충전된 축전지를 사용하길 원한다면, 스위치 S를 b에 연결하면 된다. 스위치 S가 b에 연결되면 점차 도선 사이의 퍼텐셜 차이가 커진다. 도선 내 저항을 전류가 흐르면서 겪게 되므로 저항을 통과하기 전후의 퍼텐셜 차이는 시간이 지남에 따라 증가할 수밖에 없다. 이때 아래와 같이 방전 시 작용하는 방정식을 세울 수 있다.

2. 충전 방정식과 이계 …