수학 집합의 개념

집합이란 어떤 조건에 따라 일정하게 결정되는 요소의 모임을 말하며 그 요소를 집합의 원소라고 한다. 집합이 되기 위해선 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지 들어있지 않은지를 식별할 수 있어야 하고 그 집합에서 두 원소를 취했을 때 두 원소가 서로 같은지, 같지 않은지를 식별할 수 있어야 한다. 집합에 관한 이론은 1895년 칸토어에 의해 창시되었다. 그는 삼각함수를 연구하던 중 그러한 이론의 필요성을 절감했다. 그는 무한하거나 끝이 없다고 생각하고 마는 개념을 비교 가능한 대상으로 보고 연구했다. 원소가 유한개일 때는 그 개수로 집합의 대소를 비교할 수 있으나 원소의 개수가 무한히 많을 때는 그럴 필요가 없다. 칸토어는 이를 위해 두 집합의 원소 사이에 일대일대응이 가능할 때, 두 집합은 같은 농도를 갖는다고 정의함으로써 유한집합의 ‘개수’에 대응되는 무한집합의 ‘농도’를 도입하였다.‘농도’를 카디날수(cardinal number)라고도 한다. 이러한 생각을 바탕으로 하고 있는 집합론에 의해, 칸토어 이전까지는 애매모호하게 취급되었던 `무한`이라는 개념이 명확하게 취급되기 시작했다. 그리고 그 결과 집합론은 오늘날 수학의 전 분야를 관통하는 중요한 이론으로 확고한 위치를 차지하게 되었다. 무한집합의 농도 개념을 예를 들면 자연수의 집합과 정수의 집합을 비교해보면 둘 다 무한하지만 농도에 차이가 나는 것을 알 수 있다. 그리고 유한집합에서 성립하는 상식 중에 ‘A가 유한집합이라고 하면 A의 진부분집합의 개수는 A의 개수보다 작다’라는 것이 있는데 이를 무한집합에는 적용할 수 없다. 예를 들어 일차함수 f(x)=4x를 생각해보면 f(x)는 1대1 대응함수이고 정의역 [0,2]는 정의역 [0,4]의…
무한집합의 농도 개념을 예를 들면 자연수의 집합과 정수의 집합을 비교해보면 둘 다 무한하지만 농도에 차이가 나는 것을 알 수 있다. 그리고 유한집… 두 번째로, 논의를 더 확장시켜 정수의 농도와 자연수의 농도와의 관계도 알아보자. N = {