서수적 효용이론에서 효용함수의 수학적 응용과 균형점

서수적 효용이론은 다음과 같이 수학을 응용하여 전개할 수 있다.

전제조건)
⑴ U(X,Y) 가 한 소비자의 X재와 Y재에 대한 서수적 효용함수이다
⑵ 이 함수는 2차까지 미분이 가능하다
⑶ 이 소비자에게 PX와 PY와 I가 주어졌다고 하자.

이 소비자의 선택문제는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Max U(X,Y) ---------------------- ①
단, PXX + PYY = I --------------------- ②

즉, PXX + PYY = I의 예산조건하에서 U(X,Y)를 극대화하는 X와 Y의 소비량을 결정하자는 것이다. 이 문제를 해결하기 위해 라그란지(Lagrange) 함수를 세운다.

L = U(X,Y) + λ(PXX + PYY = I) --------③
식 ③을 극대화하면 식 ②의 조건하에 식 ①을 극대화함과 같다.
식 ③을 극대화시키는 일반조건은 다음과 같다.

∂L/∂X = U1 - λP = 0 --------------------④
∂L/∂Y = U2 - λP = 0 --------------------⑤
∂L/∂λ = I - PXX - PYY = 0 -------------⑥

식 ④,⑤,⑥에서 U1 = ∂L/∂X = MUX, 그리고 U2= ∂L/∂Y = MUY인 것이다.
또한, 식 ④,⑤,⑥을 모두 충족시키는 X와 Y를 찾아내면 그것이 바로 무차별곡선과 예산선이 만나는 소비자의 균형점…