극한연속미분 적분에 관한 노트

CHAPTER 2 적분

§2.3 극한으로서의 면적

☞ p50 그림 2.1을 참조하세요

함수 가 폐구간 에서 연속이고 이라 하자. 곡선 , 두직선 및 축으로 둘러싸인 영역의 면적 를 구해보자.

(1) 구간 사이에 개의 점 을 잡고

라고 하면 구간 는 개의 소구간 으로 나누어 진다. 이때 집합 를 구간 의 분할(partion)이라 하고
간단히 로 쓴다.
(2)로 표시하고 각 소구간 에서 함수 가 최소값과 최 대값을 갖는점을 각각 이라 하자. 여기서

로 놓으면

이 됨을 알 수 있다.
(3) 이제 을 증가시켜서 분할를 더 세분하면 은 증가하고 은 감소하면 서 모두 에 접근하므로 그 공통인값

를 이 영역의 면적으로 정의한다.

§2.4 정적분

Definition 를 폐구간 의 임의의 분할이라고 할 때 소구간 의 길이 중에서 가장 큰값을 분할 의 크기 (norm) 라 하고 로 나타낸다. 즉,

리만합(Riemann sum)

함수 가 에서 정의 되어 있고 위로 유계라 하자. 임의의 분할
가 주어졌을 때 소구간 내의 임의의 점 에 대하여

를 분할 에 의한 의 리만합 이라고 한다. 각 소구간 에서

라고 놓으면

를 각각 최소리만합, 최대리만합이라 하고 다음 부등식이 성립…