[복소해석학] 복소함수론 내용정리

Ⅰ. 미분
1. 연속성
① 임의의 에 대하여 일 때 이 되는 이 존재하면 는 에서 연속이라 한다.
② 가 에서 연속 ⇔ 가 모두 에서 연속
(증명)
③ 가 영역 의 모든 점에서 연속이면 는 영역 에서 연속인 함수라 한다.
④ 가 복소평면의 모든 점에서 연속이면 를 연속함수라 한다.

2. 미분가능성
① 이 존재하면 는 에서 미분가능이라 하고 그 때의 극한값을 라 한다.
② 가 에서 미분가능 ⇒ (i) 가 모두 에서 미분가능
(ii) Cauchy-Riemann 방정식이 성립
즉,
(증명)
(참고) 그러나 역은 성립하지 않는다.
(대우) Cauchy-Riemann 방정식이 성립하지 않으면 미분가능하지 않다.
(i) 편미분이 존재하지 않으면
(ii) 편미분이 존재한다 하더라도 또는
(참고) 심지어는 편미분이 존재하고 Cauchy-Riemann 방정식이 성립한다 하더라도 미분가능하지 않을 수도 있다.
③ 가 영역 의 모든 점에서 미분가능하면 는 영역 에서 미분가능한 함수라 한다.
④ 가 복소평면의 모든 점에서 미분가능하면 는 미분가능한 함수라 한다.

3. 해석성
① 가 의 어떤 근방의 모든 점에서 미분가능이면 가 에서 해석적이라 한 다.
② 가 해석적 ⇔ (i) 연속인 편미분이 존…(생략)