인공위성에 대한 동역학적 해석

일과에너지 방정식 는 을 사용하여 타원궤도일 때 임의의 1과 2지점에서의 거리와 속력을 구할 수 있다. 또한 중심력운동도 생각할 수 있다. 한 질점이 고정된 인력중심 방향으로 향하는 힘을 받아 움직일 때 이를 중심력운동(central-force motion)이라 부른다. 이런 중심력운동은 고공의 로켓, 인공위성과 우주비행체를 설계할 때 반드시 고려가 필요한 부분이다. 단일물체의 운동일 경우에는 이다. 여기서 는 고정된 인력 물체의 질량이고, G는 우주 중력상수이며, 질량 r은 질량중심 상호간의 거리이다. 여기서 질량 m인 질점은 지구 주위를 도는 궤도위성으로 볼 수 있다. 여기에서 좌표계를 이용하여 이다. 두 번째 식에 r/m을 곱하면 와 같아지므로, 적분하면 와 같이 된다. 이 식에서 우리는 에 대한 m의 각운동량 가 의 크기를 갖는다는 것이다. 이와 같이 위 식은 에 대한 m의 각운동량이 보존된다는 것을 의미한다. 이 사실은 ‘어떤 고정점 O에 대해 질점에 가해지는 모멘트가 없으면 각운동량 는 일정하다’는 것이다. 그림에서와 같이, 시간 dt동안에 반경방향의 벡터로 형성된 도형의 면적은 와 같음을 알 수 있다. 그러므로 이러한 결론은 ‘동일한 시간동안 형성된 면적들은 항상 동일하다’는 Kepler의 제2법칙에 적용된다. 위 식들을 이용하여 인 비동차 선형미분방정식을 구할 수 있다. 이러한 2차미분방정식의 일반해는 다음과 같다. 여기서, C와 는 각각 적분상수이다. 일 때 r이 최소가 되도록 x축을 선택하면 위상각 는 제거된다. 따라서을 구할 수 있다. 위의 식을 이해하기 위해서는 원뿔곡선 방정식에 관한 지식이 필요하다. 원뿔곡선이란 한점과 어떤 선까지의 거리의 비 e를 일정하게 유지하며 움직이는 점의 궤적에 의해 형성된다. 따라서 위의 그림으로부터 이고, 다음과 같이 쓸 수 있다.