집합론의 역사

1. 집합론의 배경

상당히 오래 전부터 수학자들은 여러 가지 집합을 생각하여 왔으며, 현대 집합론의 기본 개념은 여러 가지 고전적인 저술 속에 이미 잠재하고 있었다. 그러나 집합이 수학의 이론으로서 하나의 독립적인 대상이 된 것은 19세기 말, Georg Cantor(1845~1918)의 업적에서 비롯하였다. Cantor가 처음으로 집합의 성질을 연구하게 된 것은 삼각급수에 관한 매우 전문적인 분야의 논문 속에서였다. 처음 그가 생각한 집합은 급수의 수렴과 관련하여 나타나는 어떤 특정한 실수들의 집합이었다. 그러나, Cantor는 그의 발견이 매우 일반성 있는 집합에 적용된다는 사실을 곧 깨닫고, 오늘날 집합론의 기초가 되는 중요한 일반 개념들을 창안 하였다.
Cantor의 집합론은 무한 집합을 무제한으로 다루었으며 물론 무한의 겨념을 무한히 많은 대상이 동시에 존재한다고 인정하는 ‘실무한’인 뜻으로 파악하였다. 그것이 처음에는 매우 회의적으로 여겨졌으며, 비판적으로 대해지기도 했지만, 1890년대에 이르러 Cantor의 이론 중에서 비교적 ‘조화있게 얻어지는’ 부분들이 널리 이용되게 되었으며, 그 이론들이 여러 분야의 수학이론에 정연한 기초를 마련해 주었다. 그리하여 20세기로 넘어오면서, 집합론의 많은 부분이 해석학에 있어서 없어서는 안 될 도구가 되었다.
오래 전부터 수학자들은 수학의 모든 분야를 소수의 기초적인 원리로 통일할 수 있는 가능성에 대하여 관심을 가지고 있었다. 고대의 많은 학자들은 Euclid로부터 중세까지 수학의 여러 분야가 기하학안에 포함된다고 생각하였다. 그 후 통일에 대한 시도는 19세기에 여러학자들의 업적에 의하여 모든 고전적인 수학이 자연수에 대한 산술에…

2. 역설