중첩및가역의원리

이 결과로부터 모든 폐로 전류 , , …, 은 … 가 됨으로써 중첩의 정리가 성립함을 알 수 있다. (5) 가역의 원리 상반 정리라고도 하며 `선형, 쌍향성 수동 소자로된 회로망의 입력단에 전압전원을 인가할 때 출력단에서 흐르는 전류는 출력단에 동일한 전압전원을 삽입할 때 입력단에 흐르는 전류와 같다` 는 내용이다. 이는 물론 회로망 내의 입력단 삽입된 전류전원과 다른 입력단의 전압 사이에도 역시 같은 관계가 성립됨을 말해준다. 이에 대한 일반적인 증명은 다음과 같다. 즉, 회로망의 번째의 폐로(mesh)에 전압원 를 접속하고 다른 폐로에는 전압원이 존재하지 않는 경우 번째 폐로의 폐로전류 은 .를 번째 폐로에 접속하고 다른 폐로에 전압원이 존재하지 않을 때 번째 폐로의 폐로전류 같다는 사실을 증명하면 된다. n개의 전압원을 갖는 일반 선형회로망의 폐로 전류에 관한 연려 방정식은 = 위 식에서 이외를 0으로 하면 = 여기서 즉, 인 관계가 성립된다. 다음에 번째 폐로에 를 접속한 경우의 폐로 전류는 = 앞에서와 같은 방법에 의해 그런데 어드미턴스(직류회로의 컨덕턴스에 해당한다) 행렬의 경우 상호어드미턴스 사이에는 인 관계가 성립되므로 가 되어 상반정리가 증명된다.