괴델의 불완전성 정리

원래 수학적 명제는 그것이 증명될 때에만 참이 되며, 증명 가능한 명제를 수학 에서는 정리라 한다. 수학에서 참인 명제는 반드시 정리가 되고, 그 역도 성립한다 고 오래도록 인식되어왔다. 즉, `진리`와 `정리`가 논리적으로 같은 뜻으로 이해 되어 왔다. 그러나 괴델의 제2불완전성정리에 의해 참이지만 정리가 안되는 명제가 제시 됨으로써. 우리의 통념이 무너지고 말았다. 이러한 사실 때문에 수학의 본질에 대한 고찰이 한층 더 심화되고, 증명 가능성이 수학이 참과 거짓이라는 개념으로부터 독 립되어야 하며, 수학의 보다 본질적인 문제는 진리가 아니라 `증명 가능성`의 개념이 되어야한다는 이해가 전적으로 지배하게 되었다. 앞의 설명과 같이, 현대 논리학의 사상은 수학적 진리에 대한 종래의 이해를 크 게 바꾸게 하였으며 수학의 내부뿐만 아니라 철학에서도 진리론이 하나의 과제로 제기되고 있다. 6. 맺음말 앞에서 적은 2절에서와 같이, 수학이 완전하지 않다는 G del의 결과가 수학기초 론, 수학의 철학, 인지과학의 발전에서 확고한 초석이 되었다 하겠다. 수학과 논리학의 기초에 관한 문제는 그동안 별다른 진전이 없었으나, 19세기 말 에 이르러 급속히 발전하였다. 1860～1960년의 100년 사이에 수리철학의 논리주 의, 형식주의, 직관주의 등과 같이 수학을 보는 철학적인 입장이 각각 정립되었으 며, 이들이 수리철학의 주류를 이루어왔다. 이 세 학파 모두가 수학기초론이 요구하 는 과제를 충족시켜준 것은 아니지만, 오늘날에도 이들의 사상은 자주 인용되고 있 다. 1950년 이후, …
6. 맺음말 앞에서 적은 2절에서와 같이, 수학이 완전하지 않다는 G del의 결과가 수학기초 론, 수학의 철학, 인지과학의 발전에서 확고한 초석이 되었다 하겠다. 수학과 논리학의 기초에 관한 문제는 그동안 별다른 진전이 없었… (이 글은 과학사상 제19호(1996년 겨울호)의 내용을 일부 수정한 것임.)