불대수와 논리식의 간략화

3. 관련지식
행동의 옳고 그름, 동기의 좋고 나쁨, 결론의 진실 여부 등 사고의 많은 부분은 이런 식으로 두 개의 답으로 선택하는 문제를 해결하려 하고 있다. 2가지 상태 논리는 진리에 도달하기 위한 정확한 방법을 연구한 Aristotle의 영향을 많이 받았다. 이후 논리는 모든 사고에 해당하는 어떤 종류의 특수한 과정을 연구하는 수학자들에 영향을 주었다.
Augustus De Morgan은 논리와 수학 간의 고리를 발견하는 데 상당히 접근하였다. 그러나 이것을 함께 취급한 사람은 George Boole(1854)이었다. 그는 Aristotle의 언어적인 방법을 새로운 종류의 대수식으로 대치하였다. 그 후 거의 1세기 동안 불대수식은 기술적인 발전에 영향을 미치지 못하다가 1938년 Shannon이 전화교환기에 새로운 대수식을 적용하고 나서부터, 공학자들은 이 대수식을 컴퓨터 회로 설계시나 분석시에 사용하게 되었다.

(1) 부울 대수의 기본 정의

2-가 부울 대수(two-valued Boolean algrbra: 이하 부울 대수)에 적용 할 수 있다.

①닫힘(closure): 어떤 2진 연산자에 대해 그 연산의 결4과가 다시 그 집합의 원소가 될 때, 그 집합은연산에 대하여 닫혀 있다고 정의한다. 부울 대수에서 각 연산의 결과는 0 또는 1이며, 이 결과는 집합에 속한다.

②결합 법칙(associative law): 2진 연산자의 덧셈(+)과 곱셈(·)에 대하여 다음 식이 성립된다.

(x+y)+z = x+(y+z)
(x·y)·z = x·(y·z)

③교환 법칙(commutative law): 2진 연산자의 덧셈과 곱셈에 대하여 다음식이 성립된다.

x+y = y+x
x·y = y·x

④분배 법칙(distributive law): 2진 연산자의 덧ㅅ겜과 곱셈에 대하여 다음 식이 성립한다.

…

⑤항등원(identity element): 2진 연산표로부터 +연산자에 대해서는 0, 연산자에 대해서는 1인 항등원이 존재한다.

x·1 = 1·x = x