고유치 문제(고유치, 고유벡터)

⑴ 수치적 방법을 이용한 고유치 해석 -> 이 문제는 일반적인 수치 해석법에서 다루는 고유치 해석 문제이다. 강성행렬과 질량행렬 변화를 유한요소법을 통해 수립한 후 고유치 문제를 풀어 변경된 고유치 및 고유형상을 직접구한다. 유한요소방법을 이용하여 다양한 구조 변경을 고려할 수 있지만 반복적인 고유치 해석에 소요되는 수치 계산 양이 많은 단점이 있다. Ex) 비례 감쇠 시스템에 대한 모드 중첩법(기존 모드 중첩법, 모드 가속도법, 모드 절삭 보강법) -> ① 기존 모드 중첩법 구조물의 운동을 기술하는 방정식은 일반적으로 미분 방정식으로 표현된다. 복잡한 형상을 갖는 구조물은 미분 방정식에 대한 이론 해를 구하기 어렵기 때문에 수치적 해석 방법인 유한 요소법이 널리 사용된다. 유한 요소법에서는 구조물을 이산화하고 운동방정식을 행렬식으로 표현하는 것이 일반적이다. 식(1.1)은 일반적인 구조물의 운동방정식을 행렬식으로 표현한 것이다. Mu + Cu + Ku = f(t) (1.1) 위 식에서 M은 구조물의 질량행렬이며 C는 감쇠행렬, 그리고 K는 강성행렬이다. 벡터 u는 구조물의 변위를 나타내고 벡터 f는 구조물에 가해지는 하중을 나타낸다. 위의 방정식을 모드 중첩법으로 해석하기 위해서는 구조물의 동적특성인 고유진동수와 고유모드를 먼저 구해야 한다. 고유진동수와 고유모드는 고유치 문제로부터 구하며, 식(1.1)에 대한 고유치 문제는 다음과 같다. (1.2) 여기서 는 구조물의 고유모드 벡터이며, 는 구조물의 고유치로써 이다. 운동방정식의 차수가 n이면, n개의 고유치와 이에 대응하는 n개의 고유모드가 존재한다. 고유모드의 크기는 다음 식과 같은 질량 정규화 조건을 만족하도록 정하는 것이 일반적이다. 고유모드의 특성은 각 벡터간의 직교성이다. 고유모드의 직교성을 이용하면 식 (1.1)의 운동방정식을 n 개의 독립된 방정식으로 변환할 수 있다. 식(1.4)과 식(1.5)는 고유모드의 직교성을 표현한 것이다.