근대의 수학 : 기하학의 다양성과 대수학의 발전

1. 서 론 이 시기의 유럽은 이전의 다른 어떤 100년 간 보다도 정치, 경제상으로 눈부신 변화를 겪었다. 절대군주제를 타도한 정치혁명과 이에 따라 일어난 산업혁명, 그 뒤에 이어지는 근대자본주의의 형성 등으로 유럽의 여러 나라가 거의 산업자본주의의 시대로 접어들게 되었다. 잇따른 사회적 대변동이 학문의 내용을 변화시킨 것은 너무나 당연하다. 그리하여 천문학, 역학, 공학, 그리고 이것들과 밀접한 관계를 갖는 수학에 변화가 온 것이다. 이러한 과학 분야의 대약진이 수학에 반영되지 않을 수 없었고, 새로운 시대에 걸맞는 새로운 근대 수학의 방향이 결정되었다. 특히 사상의 측면에서는 `인간해방`의 정신을 모체로 하여 자유로운 사고가 태어났고, 이것이 수학에 반영되어 사고의 자유성이라는 기본 입장이 마련되는 계기가 되었다. 2. 19세기의 수학자 1. 가우스(Johann Karl Friedrich Gauss, 1777-1855) `수학의 황제`라 불리울 만큼 놀랄만한 수학적 재능을 지닌 가우스는 18세기와 19세기를 동시에 대표할 수 있다. 그는 19세기의 가장 위대한 수학자이며 아르키메데스, 뉴턴과 더불어 3대 수학자로 꼽힌다. `수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다.`라는 유명한 말을 남겼다. 20세에 쓴 헬름스태트 대학에서의 박사학위 논문에서, 최초로 대수학의 기본정리를 일반적으로 증명하였다. 대수학의 기본정리란 `복소계수를 가지는 n(>0)차원 대수방정식은 적어도 하나의 복소근을 가진다.` 라는 것으로 일반적인 대수방정식 f(z)=0에서 z를 x+iy로 치환한다는 착상에서 출발한다. 가우스의 가장 위대한 단행본은 현대 정수론에 있어서 기본적으로 중요한 책인 <수론 연구>이다. 이 책에서는 정다각형의 작도법이 나오고, 합동에 관한 간편한 표기법이 실려있으며 수학의 엄밀성을 주창하였다.