기하학

한편, 다루고자 하는 문제의 성격에 따라 여러가지 기하학이 등장한다. 다변수 고차 연립방정식의 근을 이해하려면 그것을 좌표공간 안에 정의된 도형으로 보는 것이 편하다는 것이 데카르트에 의해 알려지면서, 해석기하 또는 대수기하가 생겨나게 되었다. 20세기에 들어와서, 정수방정식을 풀기 위하여 정수집합을 일종의 곡선으로, 방정식을 일종의 곡면으로 보는 모델을 만들어서, 시각적 직관을 써서 정수론의 문제를 해결하는 산술기하학도 탄생하였다. 이와 같이 수학, 과학, 공학 등 여러 분야에서 다양한 시각적 모델을 통하여 기하학이 사용된다. 이러한 다양한 시각적 모델들이 대부분 다양체라는 하나의 공통된 공간의 개념의 틀 안에서 설명되는데, 이와 같이 기하학을 통해서 겉보기에 동떨어진 여러 분야가 서로 연결되어 상호발전에 도움이 되기도 한다. 주요 연구분야는 다음과 같다. (1) 리만기하학(Riemannian Geometry) : 지표 위의 두 도시 사이의 최단거리를 구하는 것과 같은 문제로부터 출발하여, 일반적으로 거리와 각도의 개념이 있는 공간을 연구하는 분야이다. 고전적인 유클리드기하학을 비롯하여, 비누막의 기하학 등 우리와 가장 친근한 기하학들이 여기에 속한다. 20세기 중반 이후, 유체역학방정식의 연구가 거리와 각도의 구조를 갖는 무한차원공간의 기하를 공부하는 것으로 귀착된다는 것이 발견되어 무한차원 리만기하학도 연구되고 있다. 상대론에서는 중력의 문제를 시공구조를 갖는 공간의 기하 문제로 해석하였는데, 이러한 시공구조를 갖는 공간을 연구하는 분야를 유사리만기하학이라 하여, 리만기하의 테크닉을 써서 활발히 연구되고 있다.