Laplace변환

Laplace 변환을 이용하여 미분 방정식의 해를 구하는 방법을 도식적으로 나타내면 다음과 같다.

그러면 Laplace 변환을 이용하여 다음의 미분 방정식을 풀어보자

예)
양변에 Laplace 변환을 취하면,
가 된다.
여기에서,

이상의 결과를 미분방정식에 대입하여 정리하면,
이 되고 이 것을 적분하면,

이 된다. 를 구하기 위하여 역 Laplace 변환을 취하면,

초기조건 에서 를 얻는다.

예) Bessel 방정식
에서 인 때의 해를 구한다. 로 표현을 바꾸고 다시 쓰면,
이 된다.
초기 조건을 로 두고 위의 식을 Laplace 변환시키면,
이 되고, 이를 정리하면
이 된다. 이 미분 방정식은 쉽게 풀린다.