통계적 분포

통계역학이 하는 일은 어떤 정해진 양의 전체 에너지 E가 절대온도 T에서 열평형 상태에 있는 한 계의 N개 구성입자들 사이에 분배되는 가장 가능성 있는 방법을 결정하는 것이다. 따라서 몇개의 입자들이 에너지 을 가질 것이며 몇 개의 입자들이 에너지 를 가질 것인가 등을 결정할 수 있다.
입자들은 서로 간에 그리고 용기의 벽과 열평형을 이루기에 충분할 만큼 상호작용하지만 입자들의 운동이 강력하게 상호 관련되지는 않는다고 가정한다. 하나 이상의 입자 상태가 하나의 정해진 에너지 에 대응될 수 있다. 입자들이 배타원리의 적용을 받지 않으면 하나의 상태에 한 개 이상의 입자가 있을 수 있다.
통계역학의 기본적인 대전제는 입자들이 가능한 상태들 사이에 배열되어 특정한 에너지 분포를 가질 수 있는 방법의 수 W가 클수록 그 분포를 이룰 가능성이 크다는 사실이다. 정해진 각각의 에너지 상태는 점유될 가능성이 같다고 가정한다. 이러한 가정은 그럴 듯 하지만 궁극적인 정당성은 이같은 가정의 도움을 받아 도달한 결론들이 실험결과들과 일치한다는 데 있다.
통계역학의 과정 중 맨 처음의 단계는 고려되고 있는 입자들의 종류에 따라 W의 일반적인 표현식을 구하는 일이다. 그 다음에는 계가 고정된 수의 N개 입자로 구성되어 있고(입자들은 광자이거나 photon인 경우를 제외하고) 계는 고정된 양의 에너지 E를 가지고 있다는 조건 하에서 W를 극대화한다. 모든 경우에 그 결과로서 에너지 를 가지는 입자의 수 에 대한 표현식을 얻게 되며 그 형태는 다음과 같다.
에너지 를 가진 입자의 수 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 ①
여기서 =에너지가 인 상태의 수