[유한요소법] 열응력(Thermal Stress)해석의 공식화

다른 변수들이 있지만 여기서는 온도 변수만을 고려한 변형율(εT)을 사용하였고, 1차원 및 2차원 요소에 적용하였다.
우선 1차원 열응력에 대해 살펴보면 열응력은 다음과 같이 나타난다.
εx= σx/ + εT (1.1)

1/=D-1 이라면, 식(1.1)로부터 행렬식은 다음과 같이 표현된다.
ε=-1σ+εT (1.2)

식(1.2)에서 σ를 구하면 다음과 같다.
σ=D(ε-εT) (1.3)

단위체적 당 변형률에너지(변형률에너지 밀도)는 σ-ε그래프의 면적에 해당한다. 그리고 다음과 같이 나타난다.
0=σ(ε-εT) (1.4)

식 (1.3)과 (1.4)를 결합하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.
0=(ε-εT)T D(ε-εT) (1.5)

그리고 총변형률 에너지(total strain energy)는 다음과 같이 표현된다.
0 (1.6)

식(1.5)과 (1.6)을 결합하면 다음 식을 얻는다.
(ε-εT)T D(ε-εT) (1.7)

그리고 ε=B d 을 식(1.7)에 대입하면, 아래 식을 얻을 수 있다.
(B d-εT)TD(B d-εT) (1.8)

식(1.8)을 변형하면 다음과 같이 표현된다.
(dTBTD B d-dTBTD εT-εTTD B d+εTTD εT) (1.9)