카오스 이론

이와같은 본뜨기는 어떤 숫자(대개 0에서 1 사이) 가 주어질 때 일련의 숫자들로 이루어진 궤도를 발생시킨다. 즉 어떤 초기값 x0가 주어지면 이를 본뜨기의 오른편에 대입해서 x1(x1=Ax0[1－x0])를 얻고 이를 다시 본뜨기에 대입시켜서 x2(x2=Ax1[1－x1])을 얻는다. 이를 반복하면 무한히 긴 숫자들의 궤도를 얻을 수 있다. 이와 같은 궤도는 x0와 A값이 주어지면 유일하게 결정된다. 예를 들어 A=2일 때 x0=0.7로 주어지면 본뜨기를 반복함으로써 x1=0.42, x2=0.4872…… 등과 같이 일련의 x값을 얻을 수 있다. 즉 이들 x값의 궤도를 I라 하면 I={0.7, 0.42, 0.4872, ……} 이 된다. 이 궤도는 시간이 무한히 길어질 때, 즉 본뜨기가 계속해서 무한히 반복될 때 유일한 고정값 x〓0.5로 수렴함을 관찰할 수 있다. 이와 같은 점, 또는 일반적으로 점들의 집합을 끌개(attractor)라고 한다. 초기값 x0가 0과 1 사이에서 어떤 값을 취하더라도 모든 궤도가 동일한 끌개로 수렴하게 되는 것을 간단히 확인할 수 있다. 즉 초기값이 약간 다르면 각각의 궤도는 초기에는 다른 궤도처럼 운동하지만 시간이 지속될수록 거의 같은 운동을 보이게 된다. A의 값이 약간 변하더라도 0과 1 사이의 모든 초기값에 대해 궤도들은 마찬가지로 유일한 끌개로 수렴된다. 다만 끌개의 위치가 x=0.5가 아닌 그 근처로 약간 이동하게 된다. 즉 계는 초기 얼마 동안 궤도의 운동을 무시하면 x0와 A값의 약간의 변화에 대해 운동의 규칙성이 크게 변하지 않는 선형계 동역학의 일반적 특성을 보여준다. A값이 점차 증가해도 궤도의 운동은 큰 변화가 없고 그 위치가 점차 이동하기는 하지만 항상 어떤 고정값을 갖는 유일한 끌개가 존재하여 0과 1 사이의 초기값을 갖는 모든 궤도는 그 끌개로 수렴하는 운동을 한다. 그러나 A값이 얼마 이상 커지게 되면 궤도는 질적으로 상당히 다른 운동을 보이게 된다.