Poisson(포아송) 방정식의 해법과 예

포아송의 방정식의 응용에 관한 설명을 하기 위해서 비교적 간단한 문제를 선택할 경우 체적 전하 밀고는 미리 정해져 있다고 가정하는 것이 편리한다. 그러나 실제에 있어서는 전하밀도가 주어지는 경우는 매우 드물며, 오히려 문제를 푸는 과정에서 전화밀도를 구하고 이것을 이용하여 다른 정보들을 얻어야 할 경우가 많다. 앞으로 취급하는 문제에서는 보통 전위의 경계갑스 전계의 세기 및 전류밀도같은 양을 알고 있는 상태하에서 이값들을 이용하여 포아송방정시그, 전류의 연속식, 대전 입자에 작용하는 힘을 표시하는 Lorentz의 힘의 방정식이나 확산 방정식등을 적용한 관계식을 구하고 이 식들을 풀어야 한다. 이런 복잡한 문제는 너무 어렵기 때문에 여러 가지 가정을 설정하여 문제를 다루기로 한다. 가령 x 방향에 놓여 있는 반도체의 pn접합을 생각해 보자. 지금 x<0인 영역은 pgud으로 x>0인 영역은 n형으로 도프되어 있으면 잡합측 양측의 도핑정도는 동일하다고 가정한다. 지금 이 반도체 접합부를 통과하는 확상은 이로 인해서 형성되고 생각해야 한다. 이 정공이나 전자들의 접합부를 통과하는 확산은 이로 인해서 형성되고 방향을 갖는다. 따라서 정공이 우측으로 이동하는 것을 방지하기 위해서는 접합부 근방의 전계의 방향은 좌측으로 향하고 있어야 하므로 Ex는 음의 값을 갖는다. 이러한 전계는 이때 유의할 것은 양 전하층은 접합부를 이용해 온 정공과 전자를 잃은 양의 도너 이온으로 형성된다는 사실이다. 한편 양 전하층으니 이와 반대로 전자와 음 억셉터이론으로 형성된다. 이러한 모양의 전하 붙포상태는 여러 가지 근사식으로 표시할수 있다. 그가운데 간단한 것을 들면 이다. 따라서 전하밀도의 최대값은 Pvmax=Pv0이며 이것은 x=0.0881a에서 일어난다.이 전하밀도의 최대값 Pv0는 공핍층에서의 억셉터 및 농도 Na, Nb 와 관계가 있다. 왜먀하면 이 영역내에 있는 모든 도너나 억셉터는 전자 또는 정공을 상실했기 때문이다.