0과 무한대

생활 속의 과학 `0과 무한대`
물리학에서는 0과 무한대가 개념이의 도입이나, 계산에 자주 등장한다. 무한대를 이용해서 많은 것을 해낼 수 있지만 실제로 존재하지 않는 무한대라는 개념을 수식에서 사용할 때 특이한 경우가 많다. 물리수학이라는 전공과목에서 배운 Dirac Delta Function이라는 함수가 있다. 영국의 물리학자 디랙이 양자역학을 연구하기 위해 고안한 함수로 전체 구간에 걸쳐 값이 0이지만 특정한 한 점인 x=0 에서는 값이 무한대인 함수이다.
수학적인 정의는 왼쪽과 같은데 이 함수는 적분에서 특이 한 성질을 나타낸다.
델타 함수가 무한대가 되는 지점 x=0을 포함하여 적분하면 1 이 된다는 것이다. 적분은 넓이를 뜻하는데 무한대인 지점이 있는데 어떻게 적분값이 1이 된다는 것일까.
상식적인 해석은 다음과 같다. x가 0인 y 축을 중심으로 가로가 2, 세로가 1/2인 사각형을 생각해보자, 이 사각형의 넓이는 1이고 적분은 넓이를 뜻하므로 적분 값은 1이다. 그 다음 가로길이를 1/2배 하여 가로가 1이고 세로길이를 2배 하여 세로가 2인 사각형을 생각해 보자 이 사각형 역시 넓이가 1이다. 이런 식으로 넓이를 유지한 채 가로길이를 계속 줄이고 세로길이를 계속 늘이는 사각형을 생각해 보면 x축의 길이는 0에 가깝고 y축의 길이는 무한대에 가까운 사각형이 되지만 넓이는 1이다. 적분값이 1이 나오는 것이다.
디락 델타 함수를 표현하기 위해서 사각형을 생각하면 쉽지만, 실제로는 그렇게 간단하지는 않고, 디락 델타 함수는 엄밀히 말해서 무한히 미분 가능한 연속 함수다. 사각형이 이루는 함수는 미분 가능하지 않다. 정확한 공식과 올바른 그래프는 다음과 같다.
델타 함수가 다른 함수와 함께 쓰이는 용도를 살펴보 자. 수학적으로 전개할 필요도 없이 상식적으로 생각해보면,…