역학적 에너지 보존

1. 실험 목표

경사진 면과 원주궤도의 경로를 따라 구르는 구형 구슬의 운동에너지와 회전운동에너지에 초점을 두어 역학적 에너지 보존 및 에너지 손실을 검토한다.

2. 실험 원리

비스듬한 면을 따라 구르는 구형 구슬은 운동에너지 와 회전운동 에너지를 가지게 된다. 여기에서 m과 I는 구슬의 질량(mass)과 회전 관성모멘트(moment of inertia)이고, v와 w는 경사면 바닥에서의 구슬의 선속도와 각속도이다. 역학적 에너지 보존에 따라

(1)

이 성립한다. 여기서 h는 어떤 기준점으로부터 높이이다.
반경이 r인 구술의 관성 모멘트는이고, 미끄러지지 않고 구르기만 하는 경우에는 이므로,

(2)

이 된다.

(주의 : 실제 실험에서는 의 관계는 r이 (원주)궤도와 구의 회전 중심축 사이의 거리로 바뀌어야 한다(미끄러지지 않는다는 가정 하에서).)
높이 h에서 정지 상태로부터 구르기 시작하여 그림 1과 같은 원형 궤도의 꼭대기의 점 T를 통과하여 겨우 궤도를 이탈하지 않게 되었다고 하자. 꼭대기 점 T에서 역학적 에너지 Et 및 가장 낮은 점 B에서 구슬의 속력 vb는 원형 궤도의 반경 R 및 h와 다음과 같은 관계를 갖는다.

(1) 원형궤도 꼭대기 점에서 역학적 에너지 Et

원형 트랙의 꼭대기 점 T에서의 총 역학적 에너지는
(3)
이다. 여기에서 v와 w는 점 T에서 구의 선속도와 각속도이며 이들은의 관계를 갖으며, R은 원형 궤도의 반경이다.
구슬이 점 T를 통과하여 겨우 궤도를 이탈하지 않는 경우를 생각하면 구심력이 중력과 같다.
(4)
식 (4)와 와 의 관계를 식 (3)에 대입하면
(5)
이 된다. 출발점 h와 점 T에서의 역학적 에너지가 보존법칙에 따라 같아야 하므로
…

(2)점 B에서의 속력 Vb

(3) 점 B에서 속도 Vb와 점 C에서 속도 Vc의 관계

(11)