감쇠 진동과 비감쇠 진동

1. 감쇠 진동

모든 것은 결국 정지 상태로 돌아간다. 이것은 과학적으로 옳은 말은 아니지만 우리 주변의 많은 물체들이 그러하다. 그 이유는 공기나 물체와 물체 사이의 마찰이 존재하기 때문이다. 흔들리는 진자와 같이 단진동하는 물체들도 이론적으로는 무한히 진동을 반복해야 하지만, 실제로는 공기의 저항과 마찰 같은 감쇠력의 영향으로 진폭이 점점 줄어들다가 멈추고 만다. 감쇠력을 정량화 하는 방법은 다음과 같다. 물체는 움직일 때 공기의 저항을 받는다. 공기의 저항은 운동 방향과 반대 방향으로 힘을 작용하고, 충돌이 강할수록 공기 분자들이 작용하는 힘은 강하다. 실험적으로, 공기 저항은 속도에 비례한다. 즉,
b로 나타낸 비례상수를 감쇠상수라고 한다. (-) 부호가 붙은 이유는 힘이 운동 방향과 반대 방향으로 작용함을 의미한다. 위 결과를 단조화 진동의 운동 방정식과 결합하면 다음과 같다. 단진동의 대표적인 예로서 진동하는 용수철을 생각하자.
힘 : 감쇠력 + 복원력 :
다음과 같은 미분방정식이 유도된다.
이 때 미분연산자 d/dt를 D로 표시하면, 함수 ??에 D를 연산작용을 한다고 생각하고
괄호를 묶어주면
따라서 구하고자 하는 미분방정식의 일반적인 풀이는 각각의 1계 미분방정식에서 얻는 두 근의 선형조합인
로 주어지게 된다. 여기서 A1과 A2는 초기 조건에 의해 결정되는 상수이다.
와 의 크기에 따라 감쇠진동은 다음과 같은 세 가지로 분류될 수 있다.

1) 작은감쇠진동(  )

를 얻는다. 이 식에는 허수가 되지만, ??는 항상 실수이어야 한다. 따라서      또는,  과  는 서로 켤레 복소수이어야 한다. 그리고 ??에 켤레 복소수를 취한 것 역시 ??와 같기 때문에
이 때  와 는 켤레 복소수이다. 대입하면,
오일러의 항등…

2) 임계감쇠진동(  )

3) 과잉감쇠진동(  )