교사를 위한 추상대수학 솔루션 (신현용)

제1부

제Ⅰ장
[과제 1.1]

(1)
p T T T T F F F F q T T F F T T F F

?
T F T F T F T F

q∨r T T T F T T T F

p → ( q ∨r) T T T F T T T T

p ∧∼q F F T T F F F F

( p ∧∼q) → r T T T F T T T T

(2) 위 (1)에 의하여 ‘ xy = 0 이고 x≠0 이면 y = 0 이다’를 증명한다.
x≠0 이므로 xy = 0 의 양변에 1 을 곱하면 x 1 1 ?xy = ?0 이다. 즉, y = 0 이다. x x

[과제 1.2]

(1) 집합 X 위에서 관계 ? 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킬 때 ?을 동치관 계라고 한다. 여기서 ‘ x?y ’는 ‘ x 와 y 가 관계있다’는 뜻이고 ‘ ( x , y)∈? ’와 같 이 나타내기도 한다. (ⅰ) 임의의 x ∈X 에 대하여 x ? x 이다(반사적 성질). (ⅱ) x?y 이면 y?x 이다(대칭적 성질). (ⅲ) x?y 이고 y?z 이면 x?z 이다 (추이적 성질). 즉, 관계 ?가 반사적, 대칭적, 추이적이면 ?는 동치관계이다. (2) 관계 ?를 공집합이 아닌 집합 X 위의 동치관계라고 할 때 각 x∈X 에 대하여
x = { y∈X | y?x} 로 정의된 집합을 x 에 의한 동치류라고 한다. 일반적으로 X 의 ? 에 의한 동치류 전체의 집합을 X/? 와 같이 나타낸다.

즉, X/? = { x | x ∈X } 이…