[수학] 불대수Booleanalgebra

『불대수 (Boolean algebra)』

현대 수학에 속하는 대수학의 한 분과로서, G.불이 논리계산을 형식화하여 도입한 대수계.

두 가지의 2항연산 ∩(논리곱)과 ∪(논리합)에 관하여 다음과 같이 ① 교환법칙 ② 결합법칙 ③ 흡수법칙을 만족하는 것을 속(束)이라 하고, ①～③의 등식은 속항등식이라 한다. ① x∩y=y∩x, x∪y=y∪x ② x∩(y∩z)=(x∩y)∩z x∪(y∪z)=(x∪y)∪z ③ x∩(x∪y)=x, x∪(x∩y)=x 멱등법칙 x∩x=x, x∪x=x는 흡수법칙으로부터 유도된다. 속의 원소로서 0(최소단위 또는 零元) 및 1(최대단위 또는 單位元)이 존재할 때 x∩y=0이고 x∪y=1을 만족하는 원소 x,y를 서로 상보적이라 하며, 한쪽을 다른쪽의 보원(또는 否定)이라 한다. x의 보원을 x`로 나타내는 경우가 많다. 속의 임의의 원소에 대하여 그 보원이 속 안에 적어도 하나 있을 때 가보적(可補的)이라 하며, 그 속을 가보속(可補束)이라 한다. y

또, 분배법칙 x∩(y∪z)=(x∩y)∪(x∩z) x∪(y∩z)=(x∪y)∩(x∪z) 를 만족할 때 분배적이라 하고, 그 속을 분배속이라 한다. 이들 ①～③의 속항등식 및 가보속 ?분배속의 모든 것을 만족시키는 것이 가보분배속(可補分配束, 불束) 또는 …