수학의 영역중해석학 - 해석학 (Analysis)의 의미 및 연구 분야

해석학 (Analysis)의 의미 및 연구 분야 1. 들어가며 자연현상을 설명하는 가장 좋은 도구로 인정받고 있는 미분과 적분의 개념을 엄밀하게 규명하고, 이를 이용하여 다양한 함수들의 성질을 연구하는 것이, 해석학이다. 다루는 함수의 종류에 따라서, 실 및 복소해석학, 함수해석학, 비선형해석학 등으로 구분될 수 있고, 이는 여러 가지 미분방정식이나 적분방정식을 푸는 데에 직접적으로 응용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다. 2. 복소해석학 (Complex Analysis) 대수학의 기본정리라 불리우는 유명한 가우스의 정리는 "복소계수를 갖는 다항식 방정식은 반드시 복소수의 근을 가진다"는 것이다. 이런 의미에서 복소수 체는 수개념의 확장, 즉 대수방정식의 해가 가능하도록 수의 체계를 확장해 나가는 과정의 완성이라 할 수 있다. 함수의 변화를 정량적으로 다루는 해석학에서는 무한급수의 수렴성, 함수의 영집합 등을 기술하는 일은 복소변수를 사용할 때 가장 자연스럽고 간결하게 기술된다는 사실이 18세기 말경부터 점차 인식되었다. 해석함수론은 19세기에코시, 바이어스트라스, 리만 등에 의해 이론이 정립되었는데, 이는 코시적분정리 위에 논리정연한 하나의 체계로 구축되어 있어 수학이론의 가장아름다운 전형으로 꼽히고 있다. 오늘날 해석함수론은 수론, 대수기하학, 미분기하학, 편미분 방정식과 밀접한 관련이 있고, 공학을 비롯한 여러 응용과학분야에도 필수적인 도구로 사용되고 있다. 본 학과에서는 주로 다변수 복소해석학과 복소 다양체의 해석학을 연구하고 있다. 세부적으로는 복소곡선의 특이점 연구, 리만곡면상의 보형함수에 대한 연구, 코시-리만 다양체와 접코시-리만 방정식의 연구 등을 수행하고 있다. 상기 분야들은 근래 세계적으로활발히 연구되고 있는 복소해석학의 중심분야들이다. 20세기의 복소…
세부적으로는 복소곡선의 특이점 연구, 리만곡면상의 보형함수에 대한 연구, 코시-리만 다양체… 3. 함수해석학 (Functional Analysis)