프로이덴탈

Freudenthal은 특히 알고리즘, 사고패턴 및 문제해결 전술과 전략, 엄밀성 등의 수학적 사고를 재발명에 의해 학습해야 함을 강조한다. 알고리즘은 그 수준을 고려하여 재발명에 의해 학습되어야 한다. 수학적 사고에는 알고리즘에 가까운 사고 패턴과 문제해결 전술 전략이 있다. 그러한 사고 패턴 전술 전략도 알고리즘과 마찬가지로 중요하며 연습되어야 하지만, 너무 일찍 해서는 안 되며 학생 스스로 재발명할 수 있을 때까지 가르쳐서는 안 된다. 엄밀성도 또한 재발명에 의해 학습되어야 한다. 엄밀성에는 엄밀성이 무엇인지 모르고 행하는 수준, 국소적인 논증에 적용되는 의식적인 준거가 되는 수준, 수학 전반에 적용될 수 있는 전반적인 관념이 되는 수준 등 여러 수준이 있다. 학습자는 그러한 수준을 거치면서 엄밀성을 획득해야 한다. 수준의 이해는 불연속적이며, 엄밀성의 진전은 그 때까지 믿었던 엄밀성을 의심하는 데서 출발해야 한다. 그리고 공리로부터가 아닌 참으로 가정된 사실로부터 출발하는 국소적 조직화로부터 학습이 이루어져야 한다. 이러한 국소적 조직화는 그 나름의 엄밀성을 갖는다.