비유클리드 기하학과 앙리 푸앵카레

Y` 및 ∠XPX` 내부에 있는 직선들은 모두 l과 만나지 않지만, 점 P를 지나는, 이들 이외의 직선은 모두 l과 만난다’, 즉 평면 위에서 직선 밖의 한 점을 지나 이 직선에 평행한 직선은 적어도 2개 존재한다는 것을 공리(로바쳅스키-볼리아이의 공리)로 하는 기하학이다.
이 공간에서는 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°라는 유클리드 기하학의 정리도 성립하지 않는다. 이 공간에서는 평행선 공준이 성립하지 않으므로 평행선상에서 동위각과 엇각의 크기가 같다는 성질이 성립하지 않기 때문이다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180°라는 것은 평행선상에서 동위각과 엇각의 크기가 같다는 성질을 이용해서 증명되는 것인데, 쌍곡면 위에서는 이러한 성질이 성립하지 않기 때문에 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180°가 아니다.
쌍곡면 위에서는 삼각형을 그려보면 공간 자체가 안으로 굽은 공간이기 때문에 삼각형 자체도 안으로 굽은 오목한 삼각형이 그려진다. 따라서 감각형의 세 내각의 크기가 모두 작아지게 되어 그 합이 180°보다 더 작게 된다. 그리고 삼각형의 크기가 커질수록 삼각형의 변도 안으로 더 많이 휘어지므로 세 내각의 크기의 합이 점점 작아진다.
4. 타원 기하학
타원기하학은 평행선 공준 혹은 평행선 공리로도 불리는 유클리드 원론에 있어서 제5공준 「임의의 직선상에 없는 한 점을 지나는 그에 평행한 직선은 유일하게 존재한다」 대신에 그것을 부정하는 공리를 넣어서, 그 새로운 평행선 공준과 모순되지 않는 체계로서 얻어진 기하학인 비유클리드 기하학의 하나이다.

공간은 구면상에서 대심점(對心點)과 동일시되며, 대원(大圓)을 직선으로 생각한 것으로 표현한다. 즉, 구면상의 두 직선은 대원호(大圓弧)이므로 반드시 만난다. 따라서, ‘직선 밖의 한 점을 지나, 이것에 평행한 직선은 존재하지 않는다’를 공리로 한다.
무모순성을 얻기 위해 제2공리 「임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.」가 부정된다.

5. 비유클리드 기하학의

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