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리만 기하학(Riemannian Geometry)
지표 위의 두 도시 사이의 최단거리를 구하는 것과 같은 문제로부터 출발하여, 일반적으로 거리...

본문/목차

리만 기하학(Riemannian Geometry)
지표 위의 두 도시 사이의 최단거리를 구하는 것과 같은 문제로부터 출발하여, 일반적으로 거리와 각도의 개념이 있는 공간을 연구하는 분야이다. 고전적인 유클리드기하학을 비롯하여, 비누막의 기하학 등 우리와 가장 친근한 기하학들이 여기에 속한다. 20세기 중반 이후, 유체역학방정식의 연구가 거리와 각도의 구조를 갖는 무한차원공간의 기하를 공부하는 것으로 귀착된다는 것이 발견되어 무한차원 리만기하학도 연구되고 있다. 상대론에서는 중력의 문제를 시공구조를 갖는 공간의 기하 문제로 해석하였는데, 이러한 시공구조를 갖는 공간을 연구하는 분야를 유사리만기하학이라 하여, 리만기하의 테크닉을 써서 활발히 연구되고 있다.

사교기하학(Symplectic Geometry)
19세기에 해밀톤은 광학이나 역학의 방정식을 특별한 변수를 도입해서 표현하면 다루기 편해진다는 것을 발견하였는데, 이러한 해밀톤의 방정식을 연구하는 것이, 사교구조라는 일종의 기하학적 구조를 갖는 공간을 이해하는 문제로 재해석되면서 사교기하학이 탄생하였다. 사교기하학은 최근 대수기하학의 테크닉이 도입되면서 급속히 발전하고 있다.

복소기하학(Complex Geometry)
임의의 유리함수의 적분은 로그와 역삼각함수만 써서 구할 수 있지만 무리함수의 적분은 다른 많은 매우 복잡한 함수들을 써야 한다. 리만은 각 무리함수마다 어떤 곡면을 대응시켜서, 무리함수의 적분 문제를 이 곡면의 복소구조의 기하학 문제로 바꿔 놓았다. 이와 같이 복소구조를 갖는 공간을 연구하는 것이 복소기하학이다. 최근 이론물리학의 트위스터 이론이나 끈 이론에서 우주의 모델로 복소공간을 제시하면서 더욱 활기있게 연구되고있다.

기하학의 응용(Applications of Geometry)
기하학은 시각적 모델이 가능한 모든 학문과 기술에 응용될 수 있다. 특히 우리 수학과에서는, 글꼴연구, 공학에의 이용, 경영학에의 이용, 확률론으로의 응용, 동역학계, 양자계산론 등이 다루어지고…(생략)







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