공업 수학

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★ 해석 함수 에 의하여 평면상의 한 점 는 평면상의 한 점 와 대응된다. 이 때, 에 대하여 를 의 상(image)라고 하고, 이러한 변환을 사상(mapping)이라고 한다.

★ 면적요소 : 평면상의 면적요소 와 평면에서의 면적 요소 사이의 관계 :


★ 평행이동 : 에 의하여 평면상의 한점 는 방향으로는 , 방향으로는 만큼 이동한다.

★ 회전 : 평면상의 한 점 을 각 만큼 회전시키기 위해서는 를 곱한다. 이 점은 이 된다.

★ 역전 : 인 때, 를 역전이라 한다. 이 때, 이다.

★ 분수 변환 : 복소평면 상의 한 점 를 와 같이 변환시킨 것. 는 일반적으로 복소수이다.
참고: 평행이동은 ,
회전은 ,
역전은 에
각각 대응된다.
참고: 의 관계를 만족하는 점을 부동점 (fixed point) 라고 한다. 이 점은 의 해에서 구한다.

★ 평면의 세점 을 평면상의 세 점 으로 보내는 분수 변환은,
에 의하여 주어진다.

★ conformal mapping : 평면의 곡선 를 평면으로 사영하는 함수가 로 주어질 때, 평면 상의 두 곡선 가 이루는 각이 평면상에서 사영된 곡선이 이루는 각과 같은 사상을 등각 사상이라고 한다.

★ 예제 : 평면에서 인 직선을 역전 변환시키면 평면에서는 어떠한 곡선이 되는가?
이므로
이다. 또한, 를 로 표현하면,
이 된다.
이고, 이 식으로부터 을 얻는다. 이식을 정리하면,
이 된다.
이 것은 평면에서 중심이 이고, 반경이 인 원을 나타낸다.

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